Całki Funkcje trygonometryczne

Podstawienia trygonometryczne w całce niewymiernej

Twierdzenie 1: o podstawieniach trygonometrycznych w całce niewymiernej

1. Do obliczania całki \( \int R\left(x, \sqrt{ a^2-x^2 }\right) dx \) stosujemy podstawienie

(1)

\( x=a \sin t, \sqrt{ a^2-x^2 }=a \cos t , dx=a \cos t dt. \)

2. Do obliczania całki \( \int R\left(x, \sqrt{ x^2-a^2 }\right) dx \) stosujemy podstawienie

(2)

\( x=\frac{ a }{ \cos t }, \sqrt{ x^2-a^2 }=a \text{ tg } t , dx=\frac{ a \sin t dt }{ \cos^2 t }. \)

3. Do obliczania całki \( \int R\left(x, \sqrt{ x^2+a^2 }\right) dx \) stosujemy podstawienie

(3)

\( x=a \text{ tg } t , \sqrt{ x^2+a^2 }=\frac{ a }{ \cos t }, dx=\frac{ a dt }{ \cos^2 t }. \)

Przykład 1:

Obliczmy poniższą całkę niewymierną, stosując podstawienia trygonometryczne

\( \int \frac{ x^2 }{ \sqrt{ 1-x^2 } } dx. \)

Do rozwiązania zastosujemy podstawienie \( x= a\sin t, \) przyjmując \( a=1 \) w twierdzeniu o podstawieniach trygonometrycznych w całce niewymiernej.

Stąd

\( I=\int \frac{ x^2 }{ \sqrt{ 1-x^2 } } \ dx \ =\left| \substack{ x=\sin t \\\\ \sqrt{ 1-x^2 }=\cos t \\\\ dx = \cos t\,dt } \right|=\int \frac{ \sin^2 t }{ \cos t } \cdot \cos t dt=\int \sin^2 t dt \)

Następnie, korzystając z tożsamości trygonometrycznej \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \), otrzymujemy

\( I=\int \sin^2 t dt = \int \left(\frac{ 1 }{ 2 } - \frac{ 1 }{ 2 } \cos 2t \right) dt = \frac{ 1 }{ 2 }t - \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ 1 }{ 2 } \sin 2t +C \)

i wracając do podstawienia \( t=\arcsin x \) (tj. \( x=\sin t \)) mamy odpowiedź

\( I=\frac{ 1 }{ 2 }\arcsin x - \frac{ 1 }{ 4 } \sin (2\arcsin x) +C=\frac{ 1 }{ 2 }\arcsin x - \frac{ 1 }{ 2 }x \sqrt{1-x^2}+C. \)

Uwaga 1:

Ostanią równość otrzymujemy korzystając z tożsamości trygonometrycznej

\( \sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha = 2\sin \alpha \sqrt{1-\sin^2 \alpha } \)

dla \( \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \), a następnie przyjmując

\( \alpha=\arcsin x \)

otrzymujemy

\( \sin(2\arcsin x)=2x \sqrt{1-x^2 }. \)

Przykład 2:

Obliczmy poniższą całkę niewymierną stosując podstawienia trygonometryczne

\( \int \frac{ dx }{ x^2 \sqrt{ x^2-1 } } \)

Zwróćmy uwagę, że w związku z występowaniem w całce wyrażenia \( \sqrt{ x^2-1 }, \) do rozwiązania całki skorzystamy z podstawienia \( x=\frac{ 1 }{ \cos t } \). Zatem

\( I=\int \frac{ dx }{ x^2 \sqrt{ x^2-1 } } \ = \left| \substack{ x=\frac{ 1 }{ \cos t } \\\\ \sqrt{ x^2-1 }=\text{ tg } t \\\\ dx = \frac{ \sin t \, dt }{ \cos^2 t } } \right|= \int \frac{ 1 }{ \frac{ 1 }{ \cos^2 t } \cdot \text{ tg } t } \cdot \frac{ \sin t }{ \cos^2 t } dt \)

Następnie, korzystając z tożsamości trygonometrycznej \( \text{ tg } \alpha = \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha } \), redukujemy wyrazy podobne oraz przekształcamy podstawienie \( x=\frac{ 1 }{ \cos t } \) do postaci \( t=\arccos \frac{ 1 }{ x }. \) Wówczas otrzymujemy

\( I=\int \frac{ 1 }{ \frac{ \sin t }{ \cos t } } \cdot \sin t dt = \int \cos t dt = \sin t +C= \sin \left( \arccos \frac{ 1 }{ x } \right)+C \)

Przekształcając podstawienie \( x=\frac{ 1 }{ \cos t } \) do postaci \( t=\arccos \frac{ 1 }{ x } \) otrzymujemy odpowiedź

\( I=\sin \left( \arccos \frac{ 1 }{ x } \right)+C=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+C. \)

Uwaga 2:

Powyższą równość otrzymujemy korzystając z jedynki trygonometrycznej

\( \sin \alpha= \sqrt{1-\cos^2 \alpha } \)

dla \( \alpha \in \left[0,\pi \right] \), a następnie przyjmując

\( \alpha=\arccos \frac{1}{x} \)

otrzymujemy

\( \sin\left(\arccos \frac{1}{x}\right)= \frac{\sqrt{x^2-1 }}{x}. \)

Przykład 3:

Obliczmy stosując podstawienie trygonometryczne całkę niewymierną

\( \int\frac{ dx }{ x^2 \sqrt{ x^2+1 } }. \)

Ze względu na występowanie w funkcji podcałkowej wyrażenia \( \sqrt{ x^2+1 }, \) do jej rozwiązania skorzystamy z podstawienia \( x= \text{ tg } t \). Stąd

\( I=\int\frac{ dx }{ x^2 \sqrt{ x^2+1 } } \ = \left| \substack{ x=\text{ tg } t \\\\ \sqrt{ x^2+1 }= \frac{ 1 }{ \cos t } \\\\ dx = \frac{ dt }{ \cos^2 t } } \right|=\int \frac{ 1 }{ \text{ tg }^2 t \cdot \frac{ 1 }{ \cos t } } \cdot \frac{ dt }{ \cos^2 t } \)

Wówczas na mocy tożsamości trygonometrycznej: \( \text{ tg } \alpha = \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha } \) (redukując wyrazy podobne) mamy

\( I=\int \frac{ \cos t }{ \sin^2 t } \,dt = \left| \substack{ u=\sin t \\\\ du =\cos t\, dt } \right|= \int \frac{ du }{ u^2 } = -\frac{ 1 }{ u }+C = -\frac{ 1 }{ \sin t }+C \)

Przekształcając podstawienie \( x=\text{ tg } t \) do postaci \( t=\text{arctg}x \) otrzymujemy odpowiedź

\( I=-\frac{ 1 }{ \sin ( \text{arctg} x) }+C=-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C. \)

Uwaga 3:

Ostatnią równość otrzymujemy korzystając z tożsamości trygonometrycznej

\( \sin \alpha= \frac{\text{tg} \alpha}{\sqrt{ \text{tg}^2 \alpha +1 }} \)

dla \( \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right) \), a następnie przyjmując

\( \alpha=\text{arctg} x \)

otrzymujemy

\( \sin\left( \text{arctg} x \right)= \frac{x}{\sqrt{x^2+1 }}. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Podstawienia trygonometryczne w całce niewymiernej

Twierdzenie 1: o podstawieniach trygonometrycznych w całce niewymiernej

Przykład 1:

Uwaga 1:

Przykład 2:

Uwaga 2:

Przykład 3:

Uwaga 3: